低次元トポロジーでは、3次元・4次元の空間や、その中に埋め込まれた形を調べます。分類に際しては、位相同型や微分同相といった同値関係のもとで、同値なものを同じものとみなします。その際、異なるものを区別するための道具が必要になります。このような道具を、数学では不変量と呼びます。不変量は古くから研究されており、ホモロジー群や基本群などがその例です。これらの値が異なれば、位相同型でないことがわかります。

4次元トポロジーでは、位相同型と微分同相の間に違いがあることが知られています。つまり、位相同型であっても微分同相ではない4次元多様体のペアが存在します。このようなペアはエキゾチックペアと呼ばれ、この現象を検出できる不変量が4次元トポロジーでは重要です。

私が研究しているのは、KhovanovホモロジーやKirby–Thompson不変量といった、代数的・組合せ的に定義される不変量です。これらは、上で述べたエキゾチックペアを検出できる不変量であることが知られています。これらの不変量を改良することや、他の分野とのつながりを見いだすことが、私の主な研究内容です。

さらに、このような不変量に限らず、トポロジーや幾何学ではさまざまな数学的対象が定義され、形を調べるための多くの手法が開発されています。私は、トポロジカルデータ解析の手法を駆使して、材料科学や化学における物質の構造を解析し、その物性を調べる研究も行っています。トポロジカルデータ解析はホモロジー理論を数学的背景としていますが、トポロジーや幾何学のすべての概念が、他の分野で十分に応用されているわけではありません。トポロジーや幾何学で生まれた概念が活躍できる場を、他の分野とのつながりから見いだすことにも関心を持って研究しています。

当研究室で研究をする場合に、学部で学んでおいてほしいこと

線形代数と微分積分を通して、数学の進め方をしっかり理解していることが一番大切です。これらをしっかり学んだ上で位相の概念を理解し、その上に、多様体論、加群の理論やホモロジー論を理解しているとスムーズに研究に移行できるかと思います。難しいことを理解することが大変であるということを前提として、粘り強く自分と向き合う時間を取れる方を期待します。